Вечерний звон зовёт: древнерусские слова или уникальное сочетание архаики и инноваций

[mr. X]

В Москве, как я знаю, было много дворников именно татар.

Опять же - смотря когда.
Дворников татар в Москве было много до революции. А к 50-м годам их количество сильно уменьшилось. К 60-м их практически не осталось. Зато все носильщики на Казанском вокзале вплоть до 90-х были татарами.
Но в любом случае это не являлось причиной такого распространения именно одного слова - "айда". Тем более, что по свидетельству Чехова, оно и раньше было очень распространено.