Как остаться после магистратуры во Франции, там работать, жить?

[Stepanna]

А что ему грозит в случае что  просрочит визу?

Больше не пустят во Францию, если в паспорте будет стоять выезд из страны позже окончания визы. Ну или пустят, но через несколько лет и с большим трудом.

И как вообше добираются потом домой, выезжают из Франции  тысячи людей, которые прибыв во Франции с тур визой за 2 недели остаются работать год-другой?! Мне это очень интересно!

Домой всегда и всех выпускают. Просто повторно во шенген потом не пустят. Не пойму, про какие тысячи Вы говорите. Про нелегалов? Или Вы думаете, что так просто туристом приехать, зайти в понравившуюся конторку, попроситься работать, и они Вас возьмут?
Наверное, бывают единичные случаи-чудеса, когда человек, приехав в отпуск в Европу, внезапно находит работодателя. Но тогда работодатель делает для него документы в течение некоторого времени, человек уезжает домой, там получает визу с правом работы  и уже потом приезжает в страну работать (легально!!!)

И как его могут обнаружить что у него просроченность. Там же демократия, нет же постов и шлагбаумов на каждом углу?

При попытке поехать домой, например (последствия описаны выше). Либо просто случайно: остановила полиция за нарушение ПДД, например. Ну и нагрянувшая инспекция к работодателю (у всех ли работников есть право на работу).