CV - как написать?

[Small_birdie]

просто есть такие имена компаний, которые очень известны и престижны в деловом мире

Компании компаниями, на кандидата тоже смотрят, а также на его возможную адаптацию к новой должности.
Вопрос совместимости.
Вас же взяли после собеседования, а не "не глядя"?
То-то и оно :-).
Да и не для всех должностей такое "не глядя" действует.
Допускаю, что французы преклоняются перед "американским" опытом.
Не из любви поспорить, честное слово.

По вашему рассказу вам "дёргаться" уже и не нужно, опыт работает на вас.
Можно с CV, без LM.
Просто напомнить, что вы освободились :-).