Краткосрочная или долгосрочная виза?

[nel]

продлить обучение на курсах и визу
для этого во Франции

Виза во Франции не продлевается. Теоретически вы можете только с документами о продлении учебы и выпиской со счета в банке о том, что у вас есть деньги на проживание во Франции и обучение на запрашиваемый срок попробовать запросить вид на жительство (carte de sejour) без права на работу. Отказать - могут. Тут решает префектура, так как в случае обычном вы должны сразу в России получить визу для студента с правом получения вида на жительство на месте. И в случае отказа вам придется выехать в Россию и запрашивать новую визу.

какое приглашение из школы по срокам должно быть для
краткосрочной визы?

Подтверждение вашей записи на определенный срок и предоплаты если была. Этого достаточно. Если школа предоставляет жилье - то документ о предоставлении вам жилья.